Neckelmann, in Bocholt aufgewachsen, studierte das Cellospiel in Köln, Genf, Paris und bei Janos Starker in den U.S.A.
Nach zwei Jahren Orchesterpraxis in Berlin wurde er 1998 Solocellist des neugegründeten Malaysian Philharmonic Orchestra in Kuala Lumpur, lebte seit 2005 zunächst in München.
Seit der Saison 2006/2007 ist er, wiederum am ersten Pult, Mitglied des Opern- und Konzertorchesters Orquestra de la Comunitat Valenciana (Chefdirigenten Lorin Maazel und Zubin Mehta) im spanischen Valencia, sowie darüber hinaus ein äußerst gefragter und erfolgreicher Cellopädagoge.
Arne Neckelmann tritt auch regelmäßig im nr-Duo mit dem Pianisten J. Marc Reichow auf.